题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知曲线，点是曲线上的点.
（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；
（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；
（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，
证明：

答案

（1）
（2）
（3）证明见解析

解析

本题是解析几何、导数与数列的综合题，考查直线方程、直线的交点、点到直线的距离、导数的几何意义及绝对值不等式等知识。
（1），
曲线过点的切线的方程为，
即．
令，得，
的坐标为．
（2），
．
，
，即时，取得最大值．
故所求点的坐标为．
（3）由（2）知，于是
．
现证明．
，
故问题得证．