题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）已知函数，，它们的图象在处有相同的切线．
（Ⅰ）求与的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）如果在区间上是单调函数，求实数的取值范围．

答案

19．
（I）f’(x)=3x²+a   g’(x)=4x
k=g’(1)=4=f’(1)=3+a
∴a="1      " f’(x)=3x²+1 f(x)=x³+x
∴（1，2） ∴b=0
∴g(x)=2x²  f(x)=x³+x
（II）G(x)=x³+x+2tx²+(t²-1)x+1
=x³+2tx²+t²x+1
G’(x)=3x²+4tx+t²
令G’(x)=0
3x²+4tx+t²=0
(3x+t)(x+t)=0
x₁=  x₂=-t
若t>0      >-t

x	(-, -t)	-t	(-t, )		(, +)
y"	+	0	-	0	+
y		极大值		极小值

∴f(x)在(-, -t)    (-t, )    (, +)
若t<0      <-t

x	(-,)		(, -t)	-t	(-t, +)
y"	+	0	-	0	+
y	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴f(x)在(-,)↑    (-t, +)↑ (, -t) ↓
（III）F(x)=x³+x-m(2x²)
=x³-2mx²+x
F’(x)=3x²-4mx+1
即x∈[, 3]时 F’(x)≠0
x∈[, 3]时 F’(x)≥0或F’(x)≤0
3x²-4mx+1≥0
4mx≤3x²+1
m≤
∴m≤
或3x²-4mx+1≤0
m≥

∴m取值范围为{m| 或m≤}

解析

略