题目

题型：不详难度：来源：

）设，函数.
（Ⅰ）若，试求函数的导函数的极小值；
（Ⅱ）若对任意的，存在，使得当时，都有，求实数的取值范围.

答案

解：（Ⅰ）当时，函数，
则的导数，的导数. ………………………2分
显然，当时，；当时，，
从而在内递减，在内递增.…………………………………………4分
故导数的极小值为 …………………………………………………6分
（Ⅱ）解法1：对任意的，记函数，
根据题意，存在，使得当时，.
易得的导数，的导数…………9分
①若，因在上递增，故当时，>≥0，
于是在上递增，则当时，>，从而在上递增，故当时，，与已知矛盾 ……………………………………11分
②若，注意到在上连续且递增，故存在，使得当
，从而在上递减，于是当时，，
因此在上递减，故当时，，满足已知条件……13分
综上所述，对任意的，都有，即，亦即，
再由的任意性，得，经检验不满足条件，所以…………………………15分
解法2：由题意知，对任意的，存在，使得当时，都有成立，即成立，则存在，使得当时，成立，
又，则存在，使得当时，为减函数，即当时使成立，
又，故存在，使得当时为减函数，
则当时成立，即，得.

解析

略