题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）规定其中x∈R，m为正整数，且=1，这是排列数A(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．
（1）求A的值； （2）确定函数的单调区间．
(3) 若关于的方程只有一个实数根, 求的值.

答案

(1)=(-15)(-16)(-17)=4080；
(2)增区间为(-∞，),(，+∞)；减区间为[,]；
(3)当, 即时, 方程只有一个根.

解析

(1)根据可求出=(-15)(-16)(-17)=4080.
（2）先求导数，得()^/=3x²-6x+2．根据导数大于零，求单调增区间.导数小于零，求单调减区间.
(3) , 得
令,然后利用导数确定h(x)的图像，作出m(x)的图像，根据图像可确定它们有一个公共点时，a的取值范围.
解：(1)=(-15)(-16)(-17)=4080；………3分
(2)先求导数，得()^/=3x²-6x+2．令3x²-6x+2>0，解得x<或x>
因此，当x∈(-∞，)时，函数为增函数，当x∈(，+∞)时，函数也为增函数．
令3x²-6x+2≤0, 解得≤x≤，因此,当x∈[,]时,函数为减函数．            
∴函数的增区间为(-∞，),(，+∞)；减区间为[,]……7分
(3) 解: 由, 得.
令, 则.………8分
令, 得.
当时, ; 当时, .
∴函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
∴当时, 函数取得最大值, 其值为.                 …… 10分
而函数,
当时, 函数取得最小值, 其值为.              …… 12分
∴ 当, 即时, 方程只有一个根.  …… 14分