题目
题型:不详难度:来源:
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围.
(3) 求证:,(其中,是自然对数的底).
答案
解析
试题分析:本小题主要通过函数与导数综合应用问题,具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容,考查考生的运算求解能力,推理论证能力,其中重点对导数对函数的描述进行考查,本题是一道难度较高且综合性较强的压轴题,也是一道关于数列拆分问题的典型例题,对今后此类问题的求解有很好的导向作用. (1)代入的值,明确函数解析式,并注明函数的定义域,然后利用求导研究函数的单调性;(2)利用构造函数思想,构造,然后利用转化思想,将问题转化为只需,下面通过对进行分类讨论进行研究函数的单调性,明确最值进而确定的取值范围.(3)首先利用裂项相消法将不等式的坐标进行拆分和整理,然后借助第二问的结论进行放缩证明不等式.
试题解析::(1) 当时,,
,
由解得,由解得.
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为. (4分)
(2) 因函数图象上的点都在所表示的平面区域内,
则当时,不等式恒成立,即恒成立,、
设(),只需即可.
由,
(i) 当时, ,
当时,,函数在上单调递减,故成立.
(ii) 当时,由,因,所以,
① 若,即时,在区间上,,
则函数在上单调递增,在上无最大值,当时, ,此时不满足条件;
② 若,即时,函数在上单调递减,
在区间上单调递增,同样在上无最大值,当时, ,不满足条件.
(iii) 当时,由,∵,∴,
∴,故函数在上单调递减,故成立.
综上所述,实数a的取值范围是. (8分)
(3) 据(2)知当时,在上恒成立
(或另证在区间上恒成立),
又,
因此
.
. (12分)
核心考点
试题【已知函数.(1) 当时,求函数的单调区间;(2) 当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围.(3) 求证:,(其中,是自然对数的底).】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)当时,若不等式在上恒成立,求的取值范围.
(Ⅰ)若在时有极值,求实数的值和的单调区间;
(Ⅱ)若在定义域上是增函数,求实数的取值范围.
(1)若函数在区间上存在极值,求实数m的取值范围;
(2)当 时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:.
(I)当时,求函数的单调区间;
(II)当时, 若,使得, 求实数的取值范围.
(I)若是的一个极值点,求的值;
(II)求的单调区间.
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