题目

题型：不详难度：来源：

（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x³﹣3（a+1）x²+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．

答案

（1）y=6x﹣8
（2）f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．

解析

（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x²﹣12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；
（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x²﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）
令f′（x）=0，得到x₁=1，x₂=a
当a＞1时，

x	0	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，2a）	2a
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	0	单调递增	极大值3a﹣1	单调递减	极小值 a2（3﹣a）	单调递增	4a3

比较f（0）=0和f（a）=a²（3﹣a）的大小可得g（a）=；
当a＜﹣1时，

X	0	（0，1）	1	（1，﹣2a）	﹣2a
f′x）		﹣	0	+
f（x）	0	单调递减	极小值3a﹣1	单调递增	﹣28a3﹣24a2

∴g（a）=3a﹣1
∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．