题目

题型：不详难度：来源：

设，曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若对于任意的，恒成立，求的范围；
(3)求证：

答案

解析

试题分析：（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；
（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−)，设g(x)＝lnx−m(x−)，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．
（3）由（2）知，当x＞1时，m＝时，lnx＜ (x−)成立．不妨令x＝，k∈N^*，得出
 [ln(2k+1)−ln(2k−1)]＜，k∈N^*，再分别令k=1，2，，n．得到n个不等式，最后累加可得．
(1)         2分
由题设，∴
，.                          4分
(2),，，即
设，即.
             6分
①若，，这与题设矛盾.        7分
②若方程的判别式
当，即时，.在上单调递减，
，即不等式成立.                   8分
当时，方程，设两根为 ，
当,单调递增，，与题设矛盾.
综上所述， .                      10分
(3) 由(2)知,当时, 时,成立.
不妨令
所以，
              11分
             12分
累加可得
∴
∴     ---------------14分