题目

题型：南充一模难度：来源：

已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f′（x）=2x-1，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n求数列{b_n}的前n项和．

答案

（1）由f′（x）=2x-1得：
f（x）=x²-x+b（b∈R）
∵y=f（x）的图象过原点，
∴f（x）=x²-x，
∴S_n=n²-n
∴a_n=S_n-S_n-1
=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]
=2n-2（n≥2）
∵a₁=S₁=0
所以，数列{a_n}的通项公式为
a_n=2n-2（n∈N^*）
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n得：
b_n=n•3^2n-2（n∈N^*）
T_n=b₁+b₂+b₃++b_n
=3⁰+2•3²+3•3⁴++n•3^2n-2（1）
∴9T_n=3⁰+2•3²+3•3⁴++n•3²ⁿ（2）
（2）-（1）得：8Tn=n•32n-(30+32+34++32n-2)=n•32n-

32n-1

8

∴Tn=

n•32n

8

-

32n-1

64

=

(8n-1)32n-1

64