题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）已知函数,.
(I)证明:当时,函数在其定义域内为单调函数;(II)若函数的图象在点(1,)处的切线斜率为0,且当时,≥在上恒成立,求实数a的取值范围.

答案

(II) ≤1

解析

(I) 易知f(x)的定义域为,.当k=0时, ,故f(x)在内单调递减;当k∈时, ,故f(x)在内单调递增;当k∈时,令,则,其对称轴, ∴在内单调递减,则,故f(x)在内单调递减.综上所述, 当时, 函数在其定义域内为单调函数.
(II)由题意知,,∴k=1,故, ,∴, .易知x∈(0,1)时, , ∴h(x)在上有最小值h(1)=1.令,则,由,∴在上恒成立,即在上单调递增, 其最大值为.依题意得:1≥, ∴≤1. 又, 故≤1.