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题目
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(本小题满分12分)已知函数,.
(I)证明:当时,函数在其定义域内为单调函数;(II)若函数的图象在点(1,)处的切线斜率为0,且当时,上恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(II) ≤1
解析
(I) 易知f(x)的定义域为,.当k=0时, ,故f(x)在内单调递减;当k时, ,故f(x)在内单调递增;当k时,令,则,其对称轴, ∴内单调递减,则,故f(x)在内单调递减.综上所述, 当时, 函数在其定义域内为单调函数.
(II)由题意知,,∴k=1,故, ,∴, .易知x∈(0,1)时, , ∴h(x)在上有最小值h(1)=1.令,则,由,∴上恒成立,即上单调递增, 其最大值为.依题意得:1≥, ∴≤1. 又, 故≤1. 
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知函数,.(I)证明:当时,函数在其定义域内为单调函数;(II)若函数的图象在点(1,)处的切线斜率为0,且当时,≥在上恒成立,求实数a的】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(本小题满分12分)已知为实数,函数的导函数。(1)若上的最大值和最小值;(2)若函数有两个不同的极值点,求的取值范围。
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是二次函数,方程有两个相等的实根,且
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(13分)设是函数的一个极值点。
(1)求的关系式(用表示),并求的单调区间;(2)设,若存在,使得成立,求的取值范围。
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(本小题满分14分) 已知函数f (x)=ex-k-x,其中x∈R. (1)当k=0时,若g(x)= 定义域为R,求实数m的取值范围;(2)给出定理:若函数f (x)在[a,b]上连续,且f (a)·f (b)<0,则函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点,即存在x0∈(a,b),使f (x0)=0;运用此定理,试判断当k>1时,函数f (x)在(k,2k)内是否存在零点.
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(本小题满分14分) 已知函数
(1)若函数的图象在公共点P处有相同的切线,求实数的值并求点P的坐标;(2)若函数的图象有两个不同的交点M、N,求的取值范围;(3)在(Ⅱ)的条件下,过线段MN的中点作轴的垂线分别与的图像和的图像交S、T点,以S为切点作的切线,以T为切点作的切线.是否存在实数使得,如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
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