题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分13分）
已知f(x)=ln(1+x²)+ax(a≤0)。
（1）讨论f(x)的单调性。
（2）证明：（1+）（1+）…（1+）＜e （n∈N*，n≥2,其中无理数e=2.71828…）

答案

解析

解：（理）（1）f′(x)= +a=………………………………1分
(i)若a=0时，f′(x)= ＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0
∴f(x)在(0,+∞)单调递增，在（-∞，0）单调递减。   …………………………3分
（ii）若时，f′(x)≤0对x∈R恒成立。
∴f(x)在R上单调递减。                          ……………………………6分
(iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0＞0＜x＜
由f′(x)＜0可得x＞或x＜
∴f(x)在[，]单调递增
在（-∞，]，[上单调递减。
综上所述：若a≤－1时，f(x)在（－∞，+∞）上单调递减。………………………………7分
（2）由（1）当a=－1时，f(x)在（-∞，+∞）上单调递减。
当x∈（0，+∞）时f(x)＜f(0)
∴ln（1+x²）－x＜0 即ln（1+x²）＜x
∴ln[（1+）（1+）……(1+)]
=ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+
＜=1-+-+…+=1-＜1
∴（1+）（1+）……(1+)＜e  …………………………………………13分