题目

题型：不详难度：来源：

.已知函数（1）判定的单调性，并证明。
（2）设，若方程有实根，求的取值范围。
（3）求函数在上的最大值和最小值。

答案

（1）当x<-3时，当a>1时，f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x)在()上单调递增
当0<a<1时，f(x₁)-f(x₂)>0, ∴f(x)在()上单调递减
当x>3时，同理。（2）；（3）函数h(x)在[4,6]上的最为，最大值为h(4)=-2。

解析

（1），当x<-3时，任取x₁<x₂<-3
则-＝，
∵(x₁-3)(x₂+3)-(x₁+3)(x₂-3)=6(x₁-x₂)<0，
又（x₁-3）(x₂+3)>0且(x₁+3)(x₂-3)>0
∴<1
∴当a>1时，f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x)在()上单调递增
当0<a<1时，f(x₁)-f(x₂)>0, ∴f(x)在()上单调递减
当x>3时，同理。
（2）若f(x)=g(x)有实根，即:
∴，∴方程有大于3的实根。
∴
＝
当且仅当，即“＝”号成立
∴。
（3），
由得x²-3x-4=0解得x₁=4,x₂=-1（舍去）
当时，单调递减；
∴函数h(x)在[4,6]上的最为，最大值为h(4)=-2。