题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=2ax-, x。
(1)若f(x)在x上是增函数，求a的取值范围；（2）求f(x) 在x上的最大值。

答案

（1）由已知可得f′(x)=2a+。因为f(x)在x上是增函数，有 
f′(x)>0,即有a>-,而g(x)= -在为增函数,且g(x)的最大值为g(1)= -1,所以a>-1。当a=-1时， f′(x)=2a+,在x也有 f′(x)>0,满足f(x)在为增函数，所以a≥-1。
（2）由（1）知a≥-1时，f(x)在为增函数，所以当a≥-1时，f(x)的最大值为f(1)=2a-1。当a<-1时，令f′(x)=2a+=0,得x=,注意到0<<1,所以当0<x<时,
f′(x)>0;当<x≤1时, f′(x)<0,即当a<-1时, f(x)的最大值为f()=-3。故对x,当a≥-1时，f(x)的最大值为2a-1;当a<-1时, f(x)的最大值为-3。

解析

（1）由已知可得f′(x)=2a+。因为f(x)在x上是增函数，有 
f′(x)>0,即有a>-,而g(x)= -在为增函数,且g(x)的最大值为g(1)= -1,所以a>-1。当a=-1时， f′(x)=2a+,在x也有 f′(x)>0,满足f(x)在为增函数，所以a≥-1。
（2）由（1）知a≥-1时，f(x)在为增函数，所以当a≥-1时，f(x)的最大值为f(1)=2a-1。当a<-1时，令f′(x)=2a+=0,得x=,注意到0<<1,所以当0<x<时,