题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ) 若函数在处的切线方程为,求实数的值.
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
答案
(Ⅱ) 。
解析
试题分析:(Ⅰ) 由得
(2分)
函数在处的切线方程为,
所以 ,解得 (5分)
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,
所以,,而 (6分)
由(Ⅰ)知
令得或 (8分)
(1)当即时,恒成立,所以在上递增,成立 (9分)
(2)当即时,由解得或
①当即时,在上递增,在上递减,
所以,解得;
②当即时,在上递增,在上递减,
在上递增,
故,
解得; (12分)
(3)当即时,由解得或
①当即时,在上递减,在上递增,舍去;
②当即时,在上递增,在上 递减, 在上递增,
所以,解得 (14分)
所以实数的取值范围为 (15分)
点评:中档题,利用导数研究函数的单调性、极值,是导数应用的基本问题,主要依据“在给定区间,导函数值非负,函数为增函数;导函数值非正,函数为减函数”。确定函数的极值,遵循“求导数,求驻点,研究单调性,求极值”。不等式恒成立问题,往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得到解决。
核心考点
举一反三
(1)当时,对任意R,存在R,使,求实数的取值范围;
(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
(1)求函数和的表达式及在点处的公切线方程;
(2)设,其中,求的单调区间.
且.
(Ⅰ)讨论在区间上的单调性;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:.
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;
(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在
,使得. 试用这个结论证明:若函数
(其中),则对任意,都有;
(Ⅲ)已知正数满足,求证:对任意的实数,若时,都
有.
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