题目

题型：不详难度：来源：

已知函数是R上的奇函数，当时取得极值.
(I)求的单调区间和极大值
(II)证明对任意不等式恒成立.

答案

(Ⅰ)单增区间，单减区间，极大值；(Ⅱ)见解析.

解析

试题分析：(Ⅰ)根据奇函数的定义可知，由此解得，由已知条件“当时取得极值”可得以及，联立方程组解得，写出函数的解析式为，然后对函数求导，利用函数的单调性与导数的关系判断函数在实数集R上的单调性，并由此得到函数在处取得极大值；(Ⅱ)根据函数在区间是单调递减的，可知函数在区间上的极大值和极小值，从而由对任意的都有不等式成立，即得结论.
试题解析：(Ⅰ)由奇函数的定义，有，
即，∴.
因此，，
由条件为的极值，必有.
故，解得.              4分
因此， ，
，
.
当时，，故在单调区间上是增函数；
当时，，故在单调区间上是减函数；
当时，，故在单调区间上是增函数.
∴函数在处取得极大值，极大值为.            8分
(Ⅱ)由(I)知，是减函数，
且在上的最大值
在上的最小值
∴对任意恒有                12分