题目

题型：不详难度：来源：

若曲线f(x)=ax²+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　.

答案

(-∞,0)

解析

【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a的取值范围.
解:由题意知该函数的定义域为(0,+∞),且f"(x)=2ax+.因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f"(x)=2ax+存在零点的问题.
方法一(图象法):将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=存在交点.
当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-∞,0).

方法二(分离变量法):可等价于方程2ax+=0在(0,+∞)内有解,显然可得a=-∈(-∞,0).