题目
题型:不详难度:来源:
(1)若函数在区间上存在极值点,求实数a的取值范围;
(2)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围;
(3)试证明:.
答案
解析
试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的极值与最值等数学知识,考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问,先对求导,利用,判断函数的单调区间,利用单调性的变化,判断有无极值;第二问,将已知的恒成立问题转化为,即转化为求函数的最小值问题,利用导数判断的单调性,求出最小值;第三问,利用第二问的结论进行变形,得到类似所证结论的表达式,通过式子的累加得到所证结论.
试题解析:(1)当x>0时,,有
;
所以在(0,1)上单调递增,在上单调递减,
函数在处取得唯一的极值.由题意,且,解得
所求实数的取值范围为. 4分
(2)当时, 5分
令,由题意,在上恒成立
6分
令,则,当且仅当时取等号.
所以在上单调递增,. 8分
因此, 在上单调递增,.
所以.所求实数的取值范围为 9分
(3)由(2),当时,即,即. 10分
从而. 12分
令,得,
将以上不等式两端分别相加,得
14分
核心考点
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)求函数在上的最小值;
(2)若存在是自然对数的底数,,使不等式成立,求实数的取值范围.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,讨论的单调性.
①;②;③;④.
其中正确结论的序号是( )
A.①③ | B.①④ | C.②③ | D.②④ |
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