题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=-x³+ax²-4()，是f(x)的导函数.
（1）当a=2时，对任意的求的最小值；
（2）若存在使f(x₀)>0，求a的取值范围.

答案

（1）-11（2）

解析

试题分析：
（1）把a=2带入f(x),对f(x)求导得单调性，得极值与[-1,1]区间端点对应的函数值进行比较得到最小值，对f(x)求导得到导函数,导函数为二次函数可以对称轴图像得到导函数在区间[-1,1]上的最小值，函数f(x)与f(x)的导函数最小值之和即为的最小值.
（2）该问题为固定区间上的恒成立问题，只需要函数f(x)在区间最小值大于0.关于函数f(x)的最值可以通过求导求单调性来得到在该区间上的最值，由于导函数是含参数的二次函数，故讨论需遵循开口，有无根，根的大小等步骤进行分类讨论确定原函数的单调性，得到最小值，进而得到a的取值范围.
试题解析：
（1）由题意知
令    2分
当在[-1，1]上变化时，随的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
	-7	-	0	+	1
	-1	↓	-4	↑	-3

的最小值为    4分
的对称轴为，且抛物线开口向下,
的最小值为    5分
的最小值为-11.    6分
（2）.
①若,上单调递减，
又
    9分
②若当
从而上单调递增，在上单调递减，
.    12分
根据题意，
综上，的取值范围是    14分
(或由,用两种方法可解)