题目
题型:不详难度:来源:
答案
解析
试题分析:求出函数的定义域,求出导函数,设g(x)=2a(1﹣a)x2﹣2(1﹣a)x+1,x∈(0,+∞),讨论a=1,a>1与0<a<1三种情形,然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性.
解:定义域{x|x>0}
f′(x)=
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设g(x)=2a(1﹣a)x2﹣2(1﹣a)x+1,x∈(0,+∞)
①若a=1,则g(x)=1>0
∴在(0,+∞)上有f"(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
②若a>1则2a(1﹣a)<0,g(x)的图象开口向下,
此时△=[﹣2(1﹣a)]2﹣4×2a(1﹣a)×1=4(1﹣a)(1﹣3a)>0
方程2a(1﹣a)x2﹣2(1﹣a)x+1=0有两个不等的实根
不等的实根为x1=
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且x1<0<x2
∴在(0,
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即f"(x)>0,f(x)是增函数;
在(
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即f"(x)<0,f(x)是减函数;
③若0<a<1则2a(1﹣a)>0,g(x)的图象开口向上,
此时△=[﹣2(1﹣a)]2﹣4×2a(1﹣a)×1=4(1﹣a)(1﹣3a)
可知当
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即f"(x)≥0,f(x)是增函数;
当0<a<
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不等的实根满足
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故在(0,
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即f"(x)>0,f(x)是增函数;
在(
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即f"(x)<0,f(x)是减函数.
点评:本题考查利用导函数讨论函数的单调性:导函数为正函数递增;导函数为负,函数递减,同时考查了分类讨论的数学思想方法,属于难题.
核心考点
举一反三
(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与
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(Ⅲ)求a的取值范围,使得g(a)﹣g(x)<
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(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
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(Ⅰ)求实数a,b的值
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
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A.2015 | B.-2015 | C.2014 | D.-2014 |
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(1)若
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求
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(2)若
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且
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(3)当
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求证:|
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