题目

题型：不详难度：来源：

设函数，曲线在点处的切线为.
（1）求；
（2）证明：.

答案

（1） ；（2）详见解析.

解析

试题分析：（1）求的值就一定要建立关于的两个方程，通过解方程求出值，这就是方程思想，这里通过斜率关系确立一个方程，还有一个方程就是要用切点既在直线上，又在曲线上来确立，即用好切点的双重身份；（2）通过重新构造函数，利用导数知识来研究函数的极值和最值，进而达到证明不等式的目的，此题如果想直接去研究的最小值，通过最小值比大，来达到证题的目的，那是很难办到的，所以说构造函数是需要功底的，也是需要技巧的.
试题解析：（1） 函数的定义域为，，根据切点既在直线上，又在曲线上，依题意可得，，故         4分
（2）由（1）知， ，从而等价于.
设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递减，在 单调递增，从而在上的最小值为  10分
设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，从而在上的最大值为．又和在上取得最值的条件不同，所以综上：当时，，即.    14分