题目

题型：同步题难度：来源：

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（1﹣a^x）．
（1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；
（2）若n∈N+，求．

答案

解：（1）∵函数f（x）=log_a（1﹣a^x），∴1﹣a^x＞0，∴a^x ＜1．
当 a＞1时，由a^x ＜1解得 x＜0，定义域为（﹣∞，0）．
此时，由于1﹣a^x 是（﹣∞，0）上的减函数，
故函数f（x）=log_a（1﹣a^x）是减函数．
当0＜a＜1时，由a^x ＜1解得 x＞0，定义域为（0，+∞）．
此时，由于1﹣a^x 是（﹣∞，0）上的增函数，
故函数f（x）=log_a（1﹣a^x）是减函数．
（2）若n∈N+，因为f（n）=log_a（1﹣aⁿ），
所以a^f（n）=1﹣aⁿ，由函数定义域知1﹣aⁿ＞0，
因为n是正整数，故0＜a＜1，
∴==．