题目

题型：陕西省高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R。
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）对（2）中的φ（a）和任意的a>0，b>0，证明：。

答案

解：（1）
由已知得
解得，x=e²
∴两条曲线交点的坐标为（e²，e）
切线的斜率为
∴切线的方程为。
（2）由条件知
∴
（i）当a>0时，令h"（x）=0，解得x=4a²
∴当0＜x＜4a²时，h"（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上递减
当x>4a²时，h"（x）>0，h（x）在（4a²，+∞）上递增
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点
∴最小值φ（a）= h（4a²）=2a-aln4a²=2a（1-ln2a）。
（ii）当a≤0时，
h（x）在（0，+∞）上递增，无最小值。
故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）= 2a（1-ln2a）（a >0）。
（3）由（2）知φ"（a）=-21n2a，对任意的a>0，b>0



故由①②③得
。