题目
题型:陕西省高考真题难度:来源:
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求a的值和该切线方程;
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
(3)对(2)中的φ(a)和任意的a>0,b>0,证明:。
答案
由已知得
解得,x=e2
∴两条曲线交点的坐标为(e2,e)
切线的斜率为
∴切线的方程为。
(2)由条件知
∴
(i)当a>0时,令h"(x)=0,解得x=4a2
∴当0<x<
当x>4a2时,h"(x)>0,h(x)在(4a2,+∞)上递增
∴x=4a2是h(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点
∴最小值φ(a)= h(4a2)=2a-aln4a2=2a(1-ln2a)。
(ii)当a≤0时,
h(x)在(0,+∞)上递增,无最小值。
故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)= 2a(1-ln2a)(a >0)。
(3)由(2)知φ"(a)=-21n2a,对任意的a>0,b>0
故由①②③得
。
核心考点
试题【已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R。(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求a的值和该切线方程;(2)设函数h(x】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当时,求函数f(x)的单调区间与极值。
(Ⅰ)用a表示出b,c;
(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)证明:。
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