题目

题型：模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=+lnx（a∈R）。
（1）当a=2时，求曲线y= f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若不等式f（x）≥-1对x∈（0，e]恒成立，求实数a的取值范围。

答案

解：（1）当a=2时，求导得
∴
又x=1时，2
∴曲线y= f（x）在x=1处的切线方程为y-2=-1·（x-1），即y=-x+3。
（2）f（x）≥-1对x∈（0，e]恒成立，即a≥-x（1+lnx）对x∈（0，e]恒成立
设g（x）=-x（1+lnx），则a≥g（x）_max，x∈（0，e]
求导，得
令g"（x）=0，得
当时，g"（x）>0，即g（x）在上单调递增，
当时，g"（x）＜0，即g（x）在上单调递减，
∴当时，
∴
即实数a的取值范围是。