题目
题型:江苏模拟题难度:来源:
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值;
(2)求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1;
(3)若a<0,且对任意x1,x2∈(0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤
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答案
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所以曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为1-a,
因为曲线y=f(x)在x=1处的切线为3x-y-3=0,
所以1-a=3,解得a=-2。
(2)①充分性:
当a=1时,f(x)=x-1-lnx,
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所以当x>1时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
当0<x<1时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上是减函数,
所以f(x)≥f(1)=0.
②必要性:
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(ⅰ)当a≤0时,因为f′(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
而f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾,
所以a≤0不满足题意;
(ⅱ)当a>0时,因为当x>a时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
当0<x<a时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数,
所以f(x)≥f(a)=a-1-alna,
因为f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾,
所以a=1;
综上所述,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.
(3)由(2)可知,当a<0时,函数f(x)在(0,1]上是增函数,
又函数
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不妨设0<x1≤x2≤1,则
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所以
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即
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设
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则
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因为
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所以x2-ax-4≤0在x∈(0,1]上恒成立,即
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即a不小于
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而函数
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所以
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所以a≥-3,
又a<0,
所以a∈[-3,0).
核心考点
试题【已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R),(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值;(2)求证:f(x)≥0恒成立的充】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
[ ]
B.y=x
C.y=3x-2
D.y=-2x+3
②|x|+1=
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③y=3sinx+4cosx
④x2-y2=1
⑤y=xcosx
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