题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)，
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；
(2)求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1；
(3)若a＜0，且对任意x₁，x₂∈(0，1]，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤，求实数a的取值范围。

答案

解：(1)因为，所以f′(1)=1-a，
所以曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为1-a，
因为曲线y=f(x)在x=1处的切线为3x-y-3=0，
所以1-a=3，解得a=-2。
(2)①充分性：
当a=1时，f(x)=x-1-lnx，，
所以当x＞1时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(1，+∞)上是增函数；
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，1)上是减函数，
所以f(x)≥f(1)=0．
②必要性：
，其中x＞0，
(ⅰ)当a≤0时，因为f′(x)＞0恒成立，所以函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，
而f(1)=0，所以当x∈(0，1)时，f(x)＜0，与f(x)≥0恒成立相矛盾，
所以a≤0不满足题意；
(ⅱ)当a＞0时，因为当x＞a时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(a，+∞)上是增函数；
当0＜x＜a时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，a)上是减函数，
所以f(x)≥f(a)=a-1-alna，
因为f(1)=0，所以当a≠1时，f(a)＜f(1)=0，此时与f(x)≥0恒成立相矛盾，
所以a=1；
综上所述，f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1．
(3)由(2)可知，当a＜0时，函数f(x)在(0，1]上是增函数，
又函数在(0，1]上是减函数，
不妨设0＜x₁≤x₂≤1，则，
所以等价于f(x₂)-f(x₁)≤，
即，
设，
则等价于函数h(x)在区间(0，1]上是减函数，
因为，
所以x²-ax-4≤0在x∈(0，1]上恒成立，即在x∈(0，1]上恒成立，
即a不小于在区间(0，1]内的最大值，
而函数在区间(0，1]上是增函数，
所以的最大值为-3，
所以a≥-3，
又a＜0，
所以a∈[-3，0)．