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题目
题型:江苏模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R),
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值;
(2)求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1;
(3)若a<0,且对任意x1,x2∈(0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤,求实数a的取值范围。
答案
解:(1)因为,所以f′(1)=1-a,
所以曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为1-a,
因为曲线y=f(x)在x=1处的切线为3x-y-3=0,
所以1-a=3,解得a=-2。
(2)①充分性:
当a=1时,f(x)=x-1-lnx,
所以当x>1时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
当0<x<1时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上是减函数,
所以f(x)≥f(1)=0.
②必要性:
,其中x>0,
(ⅰ)当a≤0时,因为f′(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
而f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾,
所以a≤0不满足题意;
(ⅱ)当a>0时,因为当x>a时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
当0<x<a时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数,
所以f(x)≥f(a)=a-1-alna,
因为f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾,
所以a=1;
综上所述,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.
(3)由(2)可知,当a<0时,函数f(x)在(0,1]上是增函数,
又函数在(0,1]上是减函数,
不妨设0<x1≤x2≤1,则
所以等价于f(x2)-f(x1)≤


等价于函数h(x)在区间(0,1]上是减函数,
因为
所以x2-ax-4≤0在x∈(0,1]上恒成立,即在x∈(0,1]上恒成立,
即a不小于在区间(0,1]内的最大值,
而函数在区间(0,1]上是增函数,
所以的最大值为-3,
所以a≥-3,
又a<0,
所以a∈[-3,0).
核心考点
试题【已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R),(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值;(2)求证:f(x)≥0恒成立的充】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是

[     ]

A.y=2x-1
B.y=x
C.y=3x-2
D.y=-2x+3
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曲线y=xlnx在M(e,e)处的切线在x,y轴上的截距分别为a,b,则a+b= [     ]
A.-
B.-
C.
D.
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在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为(    )。
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若曲线f(x,y)=0(或y=f(x))在其上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0(或y=f(x))的自公切线,下列方程的曲线存在自公切线的序号为(    )(填上所有正确的序号)。 ①y=x2-|x|
②|x|+1=
③y=3sinx+4cosx
④x2-y2=1
⑤y=xcosx
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设函数f(x)=sinx+cosx,f"(x)是f(x)的导函数,若f(x)= 2f"(x),则sin2x-sin2x等于[     ]
A.-
B.-2
C.
D.2
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