题目

题型：河北省期中题难度：来源：

已知函数f(x)=㏑x-ax²+bx(a>0)且导数f‵(x)=0.
（1）试用含有a的式子表示b，并求f(x)的单调区间；
（2）对于函数图象上不同的两点A(x₁,y₁)，且x₁<x₂，如果在函数图像上存在点M(x₀,y₀)（其中x₀∈(x₁,x₂)）使得点M处的切线l//AB，则称AB存在“相依切线”.特别地，当时，又称AB存在“中值相依切线”.试问：在函数f(x)上是否存在两点A,B使得它存在“中值相依切线”？若存在，求A,B的坐标，若不存在，请说明理由.

答案

解：
（1）f‵(x)=-ax+b，f‵(x)=0，∴b=a-1，
f‵(x)==0 ，x₁=-（舍去），x₂=1，
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)。
（2） 假设存在点M满足条件,则f‵(x₀)=,整理得:=,
令=t∈(0,1),则问题转化为方程:㏑t=有根,
设g(t)=㏑t-,g‵(t)=>0,
∴函数g(t)为(0,1)上的单调递增函数,且g(1)=㏑1-0=0,∴g(t)<0,
所以不存在t使方程㏑t=成立,即不存在点满足题意。