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题目
题型:不详难度:来源:
(本小题满分l4分)
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4;
(Ⅲ)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
答案
解: (I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,

解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x.
(II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数,
fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2
∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2
都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)|
|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4
(III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
∵曲线方程为y=x3-3x,∴点A(1,m)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足
,故切线的斜率为

整理得.
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,
∴关于x0方程=0有三个实根.
设g(x­0)= ,则g′(x0)=6
由g′(x0)=0,得x0=0或x0­=1.
∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0,x0=1
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是
,解得-3<m<-2.
故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2.
解析

核心考点
试题【(本小题满分l4分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
偶函数内可导,且
处切线的斜率为(   )
A.-2B.2C.0D.无法确定

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已知函数,函数处的切线方程为              
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设a∈R,函数的导函数是,若是偶函数则曲线在原点处的切线方程为(   )
A.B.C.D.

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是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象最有可能是                                             (     )
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曲线y=x2-3x上在点P处的切线平行于x轴,则P的坐标为     (  )
A.B.C.D.

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