题目

题型：不详难度：来源：

(本题满分15分)已知函数f(x)=(2－a)(x－1)－2lnx，,其中a∈R，
（1）求f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)在（0，）上无零点，求a的取值范围.

答案

(1)当a=2时，f(x)=-lnx,故函数f(x)递减区间为（0，）；
当a2时，
若a>2,当x>0时，都有，所以函数f(x)递减区间为（0，）；
若a<2,当x变化时，的变化情况如下表：

x
	－	0	+
f(x)		极小值

故函数f(x)递减区间为：，
故函数f(x)递增区间为：
（2）因为f(x)<0在区间上恒成立不可能，故要使函数f(x) 在区间上无零点，只要对任意的x，f(x)>0恒成立即可，
即对x，a>恒成立.
令
则
再令
则
故h(x)在上为减函数，于是h(x)>h,
从而，于是g(x)在上为增函数，
所以g(x)<,
故要使函数f(x)在上无零点，a的取值范围为：.

解析

略