题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝x²－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；
(2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．

答案

（1）y＝2x.（2）①当0＜a＜时，f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是，②当a＝时，f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．③当＜a＜1时，f(x)的单调增区间是和(a,1)，单调减区间是，④当a≥1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是

解析

(1)当a＝－1时，f(x)＝x²＋x－ln x，则f′(x)＝2x＋1－，(2分)
所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.
所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为：y－2＝2(x－1)，
即：y＝2x.(6分)
(2)由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋＝ (x＞0)，
由f′(x)＝0，得x₁＝，x₂＝a，(8分)
①当0＜a＜时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1
由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，
所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是，(10分)
②当a＝时，f′(x)＝≥0，且仅当x＝时，f′(x)＝0，
所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．(11分)
③当＜a＜1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜或a＜x＜1，
由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a，
所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1)，单调减区间是，(13分)
④当a≥1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜，
由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1，
所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(16分)