已知变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为______．

答案

已知变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．
在坐标系中画出可行域，
如图为四边形ABCD，其中A（3，1），
k_AD=1，k_AB=-1，
目标函数z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小，
若仅在点（3，1）处取得最大值，
则斜率应小于k_AB=-1，
即-a＜-1，
所以a的取值范围为（1，+∞）．

核心考点

试题【已知变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4，-2≤x-y≤2．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为______．】；主要考察你对简单的线性规划等知识点的理解。[详细]

举一反三

若不等式组

x-y+5≥0

y≥a

0≤x≤2

表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）

A．a＜5

B．a≥7

C．5≤a＜7

D．a＜5或a≥7

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设实数x，y满足

x-y+5≥0
x+y≥0

x≤3

，则z=x+3y的最小值为______．

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若实数x、y满足不等式组

x+y≥2

2x-y≤4

x-y≥0

则2x+3y的最小值是 ______．

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设x，y满足约束条件

x+y≤1

y≤x

y≥-2

，则z=3x+y的最大值为______．

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变量x、y满足

x-4y+3≤0

3x+5y-25≤0

x≥1

，
（1）求z=2x+y的最大值；
（2）设z=

，求z的最小值；
（3）设z=x²+y²，求z的取值范围；
（4 ）设z=x²+y²+6x-4y+13，求z的取值范围．

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