题目

题型：不详难度：来源：

（1）设不等式x²－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围？
（2）解关于x的不等式＞1(a≠1)。

答案

（1）a的取值范围是(－1，)（2）当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2)。

解析

（1）M［1，4］有两种情况：其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围
设f(x)=x²－2ax+a+2，有Δ=(－2a)²－(4a+2)=4(a²－a－2)
当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］；
当Δ=0时，a=－1或2；
当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］。
当Δ＞0时，a＜－1或a＞2。
设方程f(x)=0的两根x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么M=［x₁，x₂］，M［1，4］1≤x₁＜x₂≤4，
即，解得2＜a＜，
∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，)。
（2）原不等式可化为：＞0，
①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解。
由于，
∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞)。
②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解。
由于，
若a＜0，，解集为(，2)；
若a=0时，，解集为；
若0＜a＜1，，解集为(2，)。
综上所述：当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2)。