题目

题型：不详难度：来源：

如图所示：用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ，假设墙有足够长．

(Ⅰ) 若篱笆的总长为，则这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大？
(Ⅱ) 若菜园的面积为，则这个矩形的长，宽各为多少时，篱笆的总长最短？

答案

(Ⅰ) 矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大 (Ⅱ) 矩形的长为、宽为时，可使篱笆的总长最短

解析

试题分析：设这个矩形的长为，宽为，篱笆的长为，面积为．
(Ⅰ) 由题知，由于，
∴，，即，当且仅当时等号成立．
由
故这个矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大．
(Ⅱ) 条件知，.
,当且仅当时等号成立．
由 
故这个矩形的长为、宽为时，可使篱笆的总长最短．
点评：利用均值不等式求最值时要注意其满足的三个条件：一，都是正数，二，积为定值时和取得最值，和为定值时积为定值，三，等号成立的条件看是否满足