正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc。 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc。

答案

见解析

解析

证明：∵ a+b+c=1
∴ 1-a=b+c，1-b=a+c，1-c=a=b
∵ a>0，b>0，c>0
∴ b+c≥2

>0
a+c≥2

>0
a+b≥2

>0
将上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc
即(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

核心考点

试题【正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc。】；主要考察你对均值不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m²的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%。已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？

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已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a⁵ + b⁵ > a²b³ + a³b²

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设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：