题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}中，Sn=4-an-

1

2n-2

．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

答案

（Ⅰ）∵Sn=4-an-

1

2n-2

，∴a1=4-a1-

1

21-2

，即a₁=1，
∵S2=4-a2-

1

22-2

，即a₁+a₂=4-a₂-1，∴a₂=1，
∵S3=4-a3-

1

23-2

，即a₁+a₂+a₃=4-a₃-

1

2

，∴a₃=

3

4

，
∵S4=4-a4-

1

24-2

，即a₁+a₂+a₃+a₄=4-a₄-

1

4

，∴a₃=

1

2

，
（Ⅱ）猜想an=

n

2n-1

证明如下：①当n=1时，a₁=1，此时结论成立；
②假设当n=k（k∈N^*）结论成立，即

a

k

=

k

2k-1

，
那么当n=k+1时，有Sk=4-ak-

1

2k-2

=4-

2k

2k

-

4

2k

=4-

2k+4

2k

∵Sk+1=4-ak+1-

1

2k-1

=Sk+ak+1
∴2ak+1=4-

1

2k-1

-4+

2k+4

2k

=

2k+4-2

2k

=

2k+2

2k

即ak+1=

k+1

2k

，
这就是说n=k+1时结论也成立．
根据①和②，可知对任何n∈N^*时an=

n

2n-1

．