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题目
题型:不详难度:来源:
定义:数列{an}的前n项的“均倒数”为
n
a1+a2+…+an
.若数列{an}的前n项的“均倒数”为
1
n+2

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知bn=tan(t>0),数列{bn}的前n项和Sn,求
lim
n→∞
Sn+1
Sn
的值;
(3)已知cn=(
4
5
)n
,问数列{an•cn}是否存在最大项,若存在,求出最大项的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)由题意可得,Sn=a1+a2+…+an=n(n+2)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1
而a1=S1=3适合上式
∴an=2n+1
(2)由(1)可得,bn=tan=t(2n+1)
bn+1
bn
=
t2n+3
t2n+1
=t2且,b1=t3
∴{bn}是以t3为首项,t2为公比的等比数列
当t=1时,Sn=n
lim
n→∞
Sn+1
Sn
=
n+1
n
=1
当t≠1时,Sn=
t3(1-t2n)
1-t2
Sn+1
Sn
=
1-t2n+2
1-t2n

若0<t<1,
lim
n→∞
Sn+1
Sn
=
lim
n→∞
1-t2n+2
1-t2n
=1
若t>1,
lim
n→∞
Sn+1
Sn
=
lim
n→∞
1-t2n+2
1-t2n
lim
n→∞
1
t2n
t2
1
t2n
-1
=t2
(3)由(1)可得,an•cn=((2n+1)•(
4
5
)
n

令D(n)=(2n+1)•(
4
5
)
n
,若D(n)最大





(2n+1)•(
4
5
)
n
≥(2n+3)•(
4
5
)
n+1
(2n+1)•(
4
5
)
n
≥(2n-1)•(
4
5
)
n-1






2n+1≥
4(2n+3)
5
4(2n+1)
5
≥2n-1

7
2
≤n≤
9
2

∵n∈N*∴n=4,此时D(4)=9• (
4
5
)
4
最大
核心考点
试题【定义:数列{an}的前n项的“均倒数”为na1+a2+…+an.若数列{an}的前n项的“均倒数”为1n+2,(1)求数列{an}的通项公式;(2)已知bn=t】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
设数列{an}是等比数列,a1=C2m3m-2•Pm-11(m∈N*),公比q是(x+
1
4x2
)4
的展开式中的第二项(按x的降幂排列).
(1)求常数m的值;
(2)用n、x表示数列{an}的前项和Sn
(3)若Tn=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn,用n、x表示Tn
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设数列{an}的前n项和为Sn,令Tn=
S1+S2+…+Sn
n
,称Tn为数列a1,a2,…,an的“理想数”,已知数列a1,a2,…,a401的“理想数”为2010,那么数列6,a1,a2,…,a401的“理想数”为(  )
A.2016B.2011C.2010D.2009
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已知f(n)=1+3+5+…+(2n-1),an=2
f(n)
n
,则数列{an}的前10项和等于______.
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已知数列{an}中的相邻两项a2k-1、a2k是关于x的方程x2-(3k+2k)x+3k•2k=0的两个根,且a2k-1≤a2k(k=1,2,3,…).
(I)求a1,a3,a5,a7及a2n(n≥4)(不必证明);
(Ⅱ)求数列{an}的前2n项和S2n
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数列{an},a1=1,an+an+1=2n,则数列{an+1-an}的前10项和T10=(  )
A.0B.5C.10D.20
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