题目
题型:不详难度:来源:
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答案
当1<x≤2时,有0<x-1≤1,则f(x)=f(x-1)+1=2x-2+1,
当2<x≤3时,有1<x-1≤2,则f(x)=f(x-1)+1=2x-3+2,
当3<x≤4时,有2<x-1≤3,则f(x)=f(x-1)+1=2x-4+3,
以此类推,当n<x≤n+1(其中n∈N)时,则f(x)=f(x-1)+1=2x-n-1+n,
所以,函数f(x)=2x的图象与直线y=x+1的交点为:(0,1)和(1,2),
由于指数函数f(x)=2x为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点.
然后:
①将函数f(x)=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位,
即得到函数f(x)=2x-1和y=x的图象,
取x≤0的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0).
即当x≤0时,方程f(x)-x=0有且仅有一个根x=0.
②取①中函数f(x)=2x-1和y=x图象-1<x≤0的部分,
再同时向上和向右各平移一个单位,
即得f(x)=2x-1和y=x在0<x≤1上的图象,
此时它们仍然只有一个交点(1,1).
即当0<x≤1时,方程f(x)-x=0有且仅有一个根x=1.
③取②中函数f(x)=2x-1和y=x在0<x≤1上的图象,
继续按照上述步骤进行,
即得到f(x)=2x-2+1和y=x在1<x≤2上的图象,
此时它们仍然只有一个交点(2,2).
即当1<x≤2时,方程f(x)-x=0有且仅有一个根x=2.
④以此类推,函数y=f(x)与y=x在(2,3],(3,4],…,
(n,n+1]上的交点依次为(3,3),(4,4),…
(n+1,n+1).
即方程f(x)-x=0在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次为3,4,…,n+1.
综上所述方程f(x)-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为:
0,1,2,3,4,…,
其通项公式为:an=n-1,
前n项的和为 Sn=
(n-1)•n |
2 |
∴S10=45.
故答案为:45.
核心考点
试题【已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(x-1)-1(x>0),把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和Sn,】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
3 |
2 |
(Ⅰ)求x的值;
(Ⅱ)求a2+a4+a6+a8+a10的值.
①求当n∈N*时,
Sn+64 |
n |
②证明:由①知Sn=n2,当n∈N*时,
2 |
s1s3 |
3 |
s2s4 |
n+1 |
SnSn+2 |
5 |
16 |
1 |
n(n+2) |
(1)用数学归纳法证明:0<an<1;
(2)若bn=lg(1-an),且a1=
9 |
10 |
1 |
bn |
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