题目

题型：安徽模拟难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn=

a

a-1

(an-1)（其中a为常数且a≠0，a≠1，n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

（1）∵Sn=

a

a-1

(an-1)，
∴Sn+1=

a

a-1

(an+1-1)，
从而a_n+1=S_n+1-S_n=

a

a-1

（a_n+1-a_n），
∴a_n+1=a•a_n，
当n=1时，由Sn=

a

a-1

(an-1)，得a₁=a．
∴数列{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列，故an=an．
（2）由（1）得bn=n•an，
∴Tn=a+2a2+3a3+…+nan，
从而aT_n=a²+2a³+3a⁴+…+naⁿ⁺¹，
两式相减，得(1-a)Tn=a+a2+a3+…+an-naⁿ⁺¹，
∵a≠0，且a≠1，
∴(1-a)Tn=

a(1-an)

1-a

-nan+1
=

nan+2-(n+1)an+1+a

1-a

，
从而T_n=

nan+2-(n+1)an+1+a

(1-a)2

．