题目
题型:不详难度:来源:
已知数列满足:,(其中为自然对数的底数).
(1)求数列的通项;
(2)设,,求证:, .
答案
,即. …………………………………3分
令,则,,
因此,数列是首项为,公差为的等差数列.
, …………………………………5分
. …………………………………6分
(2)(方法一)先证明当时,.
设,则,
当时,,
在上是增函数,则当时,,即.………8分
因此,当时,,, …………9分
当时,,. …………………10分
.
…………………………12分
.
………………………14分
(方法二)数学归纳法证明
(1),,当时,成立;
,,
又,,
当时,成立. ……………………………………………8分
(2)设时命题成立,即,,
当时,,
要证, 即证,
化简,即证. …………………………9分
设,则,
当时,,
在上是增函数,则当时,,即.
因此,不等式成立,即当时成立. …………………11分
当时,,
要证, 即证,
化简,即证.
根据前面的证明,不等式成立,则时成立.
由数学归纳法可知,当时,不等式,成立.……………14分
解析
核心考点
举一反三
(1)试求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求证
(1)设,证明:数列是等差数列。
(2)求数列的前项和。
(1)求,的值;
(2)设,是否存在实数,使数列为等差数列,若存在请求其通项,若不存在请说明理由。
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