题目

题型：专项题难度：来源：

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N*，都有a_n＞0，且，
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设数列的前n项和为S_n，不等式S_n＞对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）当n=1时，有，
由于a_n＞0，所以a₁=1；
当n=2时，有，
将a₁=1代入上式，由于a_n＞0，所以a₂=2；
（Ⅱ）由于
则有，②
②-①，得，
由于a_n＞0，所以，③
同样有
③-④，得，
所以，
由于a₂-a₁=1，
即当n≥1时都有，
所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，故a_n=n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a_n=n，
则，
所以

，
 ，
∴数列{S_n}单调递增，所以，
要使不等式对任意正整数n恒成立，只要，
∵1-a＞0，
∴0＜a＜1，
∴1-a＞a，即，
所以，实数a的取值范围是。