题目

题型：江西省月考题难度：来源：

已知数列{a_n}满足：，2a_n+1=a_na_n+1+1
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅲ）已知数列{b_n}满足：a_nb_n=1﹣a_n，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：S₁+S₂+…+S_n﹣1=n（S_n﹣1）

答案

（Ⅰ）解：∵数列{a_n}满足：，2a_n+1=a_na_n+1+1
∴n=1时，2a₂=a₁a₂+1，∴
n=2时，2a₃=a₂a₃+1，∴
n=3时，2a₄=a₃a₄+1，∴；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，
证明：①当n=1，2，3，4时，由（Ⅰ）知结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即，则n=k+1时，∴2a_n+1=a_na_n+1+1
∴=
即n=k+1时，结论成立
由①②可知；
（Ⅲ）解：由a_nb_n=1﹣a_n，可得
∴S₁+S₂+…+S_n﹣1=（n﹣1）+
=n++…+﹣1×（n﹣1）
=n（1++…+﹣1）
=n（S_n﹣1）