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题目
题型:江苏期末题难度:来源:
已知函数f(x)=x2﹣ax+a(a∈R)同时满足:①不等式f(x)≤0 的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.设数列{an}的前n项和为Sn=f(n).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设各项均不为零的数列{cn}中,所有满足ci﹣ci+1<0的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数,令cn=1﹣(n为正整数),求数列{cn}的变号数.
答案
解:(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素,
∴△=a2﹣4a=0
∴a=0或4,
当a=0时,函数f(x)=x2在(0,+∞)上递增,
故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立;
当a=4时,函数f(x)=x2﹣4x+4在(0,2)上递减,
故存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.
综上,得a=4,f(x)=x2﹣4x+4,∴Sn=n2﹣4n+4
n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣5,n=1 时,a1=1
∴an=
(2)∵cn=1﹣

∵n≥3时,Cn+1﹣Cn=>0,
∴n≥3时,数列{cn}递增,
∵a4=﹣<0,由>0
n≥5,可知a4﹣a5<0,即n≥3时,有且只有1个变号数;
又∵C1=﹣3,C2=﹣5,C3=﹣3,即C1﹣C2<0,C2﹣C3<0,
∴此处变号数有2个.
综上得数列共有3个变号数,即变号数为3.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2﹣ax+a(a∈R)同时满足:①不等式f(x)≤0 的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足.数列{bn}满足,Tn为数列{bn}的前n项和.
(I)求a1,d和Tn
(II)若对任意的n∈N*,不等式恒成立,求实数λ的取值范围.
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对于正项数列{an},定义为{an}的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为,则数列{an}的通项公式为(    )
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已知数列中,,前项和
(Ⅰ)求
(Ⅱ)求的通项公式
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某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率与第一年的相同,公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产,设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元。
(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;
(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)。
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下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是
[     ]

 A.an=n2﹣n+1
B.an=
C.an=
D.an=


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