题目

题型：江苏期末题难度：来源：

已知函数f（x）=x²﹣ax+a（a∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i﹣c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数，令c_n=1﹣（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

答案

解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²﹣4a=0
∴a=0或4，
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立；
当a=4时，函数f（x）=x²﹣4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
综上，得a=4，f（x）=x²﹣4x+4，∴S_n=n²﹣4n+4
n≥2 时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=2n﹣5，n=1 时，a₁=1
∴a_n=
（2）∵c_n=1﹣，
∴
∵n≥3时，C_n+1﹣C_n=＞0，
∴n≥3时，数列{c_n}递增，
∵a₄=﹣＜0，由＞0
n≥5，可知a₄﹣a₅＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵C₁=﹣3，C₂=﹣5，C₃=﹣3，即C₁﹣C₂＜0，C₂﹣C₃＜0，
∴此处变号数有2个．
综上得数列共有3个变号数，即变号数为3．