题目

题型：广东省月考题难度：来源：

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：．

答案

解：（1）依题意，数列{b_n}的通项公式为，由，
可得（n≥2），
两式相减可得，即a_n=n．
当n=1时，a₁=1，从而对一切n∈N*，都有a_n=n．
所以数列{a_n}的通项公式是a_n=n．
（2）证明：由（1）知，a_nb_n=n·^₂n﹣1，
故=+++…+＜+++…+（n≥3）．
∴＜+++…+=1+=1+﹣＜．
即成立．