题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上，n∈N*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=log₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n．

答案

解：（Ⅰ）∵点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上
∴a_n+1=3S_n+1，①
a_n=3S_n﹣1+1，②（n＞1）
①﹣②：a_n+1﹣a_n=3（S_n﹣S_n﹣1）=3a_n，
∴a_n+1=4a_n，n＞1
∵a₂=3S₁+1=3a₁+1=3t+1，a₁=t，
∴3t+1=4t，∴t=1
∴当t=1时，a₂=4a₁，数列{an}是等比数列
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的结论下，a_n+1=4a_n，
∴，
∴b_n=log₄a_n+1=n，，
∴