题目

题型：期末题难度：来源：

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M的价值a_n的表达式；
（Ⅱ）设，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．

答案

解：（I）当n＜6时，数列{a_n}是首项为120，公差为﹣10的等差数列
a_n=120﹣10（n﹣1）=130﹣10n
当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为的等比数列，
又a₆=70
所以
因此，第n年初，M的价值a_n的表达式为
（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，S_n=120n﹣5n（n﹣1），A_n=120﹣5（n﹣1）=125﹣5n
当n≥7时，由于S₆=570
故S_n=S₆+（a₇+a₈+…+a_n）
==
因为{a_n}是递减数列，所以{A_n}是递减数列，
又
所以须在第9年初对M更新．