题目

题型：聊城一模难度：来源：

已知等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=

1

2

公比q≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足bn=log

1

2

an2，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：当n≥5时，a_nS_n＜1．

答案

（1）由已知得a₂-a₃=2（a₃-a₄）．
从而得2q²-3q+1=0
解得q=

1

2

或q=1（舍去）…（4分）
所以a_n=a₁•q^n-1=

1

2

•（

1

2

）^n-1=(

1

2

)n．
∴数列{a_n}的通项公式为an=(

1

2

)n；…（6分）
（2）由于bn=2log

1

2

(

1

2

)n=2n•Sn=n(n+1)，anSn=

n(n+1)

2n

．
因此所证不等式等价于：2ⁿ＞n（n+1）（n≥5．）
①当n=5时，因为左边=32，右边=30，32＞30，所以不等式成立；
②假设n=k（k≥5）时不等式成立，即2^k＞k（k+1），
两边同乘以2得2^k+1＞（k+1）（k+2）．
这说明当n=k+1时也不等式成立．
由①②知，当n≥5时，2ⁿ＞n（n+1）成立．
因此，当n≥5时，a_nS_n＜1成立．…（12分）