题目

题型：高考真题难度：来源：

已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=，n∈N*，
（1）设b_n+1=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；
（2）设b_n+1=，n∈N*，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值。

答案

解：（1）由题意可知，a_n+1===
∴
从而数列{}是以1为公差的等差数列。
（2）∵a_n＞0，b_n＞0
∴
从而（*）
设等比数列{a_n}的公比为q，
由a_n＞0可知q＞0
下证q=1
若q＞1，则，
故当时，与（*）矛盾
0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾
综上可得q=1，a_n=a₁，
所以，
∵
∴数列{b_n}是公比的等比数列
若，则，于是b₁＜b₂＜b₃
又由可得
∴b₁，b₂，b₃至少有两项相同，矛盾
∴，从而=
∴。