题目

题型：上海模拟难度：来源：

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

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an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，
其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（2）证明：当λ≠18时，数列 {b_n} 是等比数列；
（3）设S_n为数列 {b_n} 的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

（1）证明：假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a₂²=a₁a₃，（2分）
即（

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λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)⇔

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ⇔9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．（4分）
（2）因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

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a_n-2n+14）
=-

2

3

（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-

2

3

b_n（7分）
当λ≠-18时，b₁=-（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，∴

ba+1

bn

=-

2

3

（n∈N⁺）．（8分）
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

2

3

为公比的等比数列（9分）
（3）当λ=-18时，b_n=0，从而S_n=0．成立．（10分）
当λ≠-18时，由（Ⅱ）得bn=-(λ+18)•(-

2

3

)n-1，于是Sn=-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]，（12分）
要使对任意正整数n，都有S_n＞-12．
即-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]＞12⇔λ

20

1-(- 2 3 )n

-18．
令f(n)=1-(-

2

3

)n，则
当n为正奇数时，1＜f(n)≤

5

3

：
当n为正偶数时，

5

9

≤f(n)＜1，∴f(n)的最大值为f(1)=

5

3

．（16分）
于是可得λ＜20×

3

5

-18=-6．
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．（18分）