题目
题型:乐山二模难度:来源:
(Ⅰ)求证:数列{Sn}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)令bn=
9an |
(an+3)(an+1+3) |
3 |
8 |
7 |
8 |
答案
an+1Sn-1-anSn=(Sn+1-Sn)Sn-1-(Sn-Sn-1)Sn=Sn+1Sn-1-Sn2,
所以Sn2=Sn-1Sn+1(n≥2).
又由S1=1≠0,S2=4≠0,可推知对一切正整数n均有Sn≠0,
∴数列{Sn}是等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知等比数列{Sn}的首项为1,公比为4,
∴Sn=4n-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×4n-2,又a1=S1=1,
∴an=
|
(Ⅲ)证明:当n≥2时,an=3×4n-2,
此时bn=
9an |
(an+3)(an+1+3) |
9×3×4n-2 |
(3×4n-2+3)(3×4n-1+3) |
3×4n-2 |
(4n-2+1)(4n-1+1) |
又b1=
9a1 |
(a1+3)(a2+3) |
3 |
8 |
∴bn=
|
当n≥2时,
bn=
3×4n-2 |
(4n-2+1)(4n-1+1) |
1 |
4n-2+1 |
1 |
4n-1+1 |
Tn=b1+b2+…+bn=
3 |
8 |
1 |
42-2+1 |
1 |
42-1+1 |
1 |
4n-2+1 |
1 |
4n-1+1 |
=
7 |
8 |
1 |
4n-1+1 |
7 |
8 |
又因为对任意的正整数n都有bn>0,所以Tn单调递增,即Tn≥T1,
∵T1=b1=
3 |
8 |
7 |
8 |
所以对于任意的正整数n,都有
3 |
8 |
7 |
8 |
核心考点
试题【已知数列{an}中,a1=1,a2=3,其前n项和为Sn,且当n≥2时,an+1Sn-1-anSn=0.(Ⅰ)求证:数列{Sn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}】;主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)证明:数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}都是等比数列;
(2)若an+1>an(n∈N*)恒成立,求λ的取值范围.
(1)设bn=2an+1,证明:数列{bn}是“平方递推数列”,且数列{lgbn}为等比数列;
(2)设(1)中“平方递推数列”{bn}的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式;
(3)记cn=
log | Tn2an+1 |
A.-110 | B.-90 | C.90 | D.110 |
A.10 | B.7 | C.5 | D.4
|
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{
1 |
Sn |
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