题目

题型：不详难度：来源：

（Ⅰ）求证：数列{x_n}是等比数列；
（Ⅱ）设满足
 
y_s=,y_t=（s,t∈N，且s≠t）共中a为常数，且1<a<,试判断，是否存在自然
数M，使当n>M时，x_n>1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由

答案

（Ⅱ）答案是肯定的，即存在自然数M，使当n>M时，x_n>1恒成立

解析

（1）∵点，都在斜率为k的直线上
∴=k，即=k，………………………………………(1分)
故  (k－1)x_n+1=kx_n
∵k≠0,x_n+1≠1,x_n≠1，………………………………………(3分)
∴==常数，∴{x_n}是公比为的等比数列。…………(4分)
（2）答案是肯定的，即存在自然数M，使当n>M时，x_n>1恒成立。………(5分)
事实上，由1<a<，得0<2a²－3a+1<1…………………………………(6分)
∵y_n=log (2a²－3a+1)，
∴= logx_n………………………………………(8分)
由（1）得{x_n}是等比数列，设公比为q>0首项为x₁，则x_n=x₁·q^n－1(n∈N)
∴=(n－1) logq+logx₁
令d=logq，故得{}是以d为公差的等差数列。
又∵=2t+1,=2s+1，
∴－=2(t－s)
即(s－1)d－(t－1)d=2(t－s)，
∴d=－2………………………………………(10分)
故=+（n－s）(－2)=2（t+s）－2n+1（n∈N）
又∵x_n=(2a²－3a+1)  （n∈N）
∴要使x_n>1恒成立，即须<0………………………………………(12分)
∴2(t+s)－2n+1<0，∴n>(t+s)+，当M=t+s，n>M时，我们有<0恒成立，
∴当n>M=(t+s)时，>1恒成立。（∵0<2a²－3a+1<1）……(14分)