题目

题型：辽宁难度：来源：

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2）
（I）令c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式S_n．

答案

（I）由题设得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2）
易知{c_n}是首项为a₁+b₁=3，公差为2的等差数列，通项公式为c_n=2n+1
（II）由题设得an-bn=

1

2

(an-1-bn-1)(n≥2)，令d_n=a_n-b_n，则dn=

1

2

dn-1(n≥2)、
易知{d_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为

1

2

的等比数列，通项公式为dn=

1

2n-1

由

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

，
求和得Sn=-

1

2n

+

n2

2

+n+1