题目

题型：广州一模难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N⁺）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）是否存在实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）⇒a₂=2a₁+2²-1=13⇒a₂=13，
同理可得a₃=33，（3分）
（2）假设存在一个实数λ符合题意，则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

（5分）
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是与n无关的常数，则

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列 {

an+λ

2n

}为等差数列（13分）