题目

题型：浙江难度：来源：

设点A_n（x_n，0），P_n（x_n，2^n-1）和抛物线C_n：y=x²+a_nx+b_n（n∈N*），其中a_n=-2-4n-

1

2n-1

，x_n由以下方法得到：x₁=1，点P₂（x₂，2）在抛物线C₁：y=x²+a₁x+b₁上，点A₁（x₁，0）到P₂的距离是A₁到C₁上点的最短距离，…，点P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在抛物线C_n：y=x²+a_nx+b_n上，点A_n（x_n，0）到P_n+1的距离是A_n到C_n上点的最短距离．
（Ⅰ）求x₂及C₁的方程．
（Ⅱ）证明{x_n}是等差数列．

答案

（Ⅰ）由题意得A₁（1，0），C₁：y=x²-7x+b₁，
设点P（x，y）是C₁上任意一点，
则|A₁P|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+(x2-7x+b1)2

令f（x）=（x-1）²+（x²-7x+b₁）²
则f"（x）=2（x-1）+2（x²-7x+b₁）（2x-7）
由题意得f"（x₂）=0，
即2（x₂-1）+2（x₂²-7x+b₁）（2x₂-7）=0
又P₂（x₂，2）在C₁上，∴2=x₂²-7x₂+b₁
解得x₂=3，b₁=14
故C₁的方程为y=x²-7x+14
（Ⅱ）设点P（x，y）是C_n上任意一点，
则|A_nP|=

(x-xn)2+y2

=

(x-xn)2+(x2+anx+bn)2

令g（x）=（x-x_n）²+（x²+a_nx+b_n）²
则g"（x）=2（x-x_n）+2（x²+a_nx+b_n）（2x+a_n）
由题意得g"（x_n+1）=0
即2（x_n+1-x_n）+2（x_n+1²+a_nx+b_n）（2x_n+1+a_n）=0
又∵2ⁿ=x_n+1，∴（x_n+1-x_n）+2ⁿ（2x_n+1+a_n）=0（n≥1），
即（1+2ⁿ⁺¹）x_n+1-x_n+2ⁿa_n=0（*）
下面用数学归纳法证明x_n=2n-1，
①当n=1时，x₁=1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即x_k=2k-1，
则当n=k+1时，由（*）知（1+2^k+1）x_k+1-x_k+2^ka_k=0，
又a_k=2-4k-

1

2k-1

，∴x_k+1=

xk-2kak

1+2k+1

=2k+1，
即n=k+1时，等式成立．
由①②知，等式对n∈N^*成立，
故{x_n}是等差数列．